Programa temático de cálculo diferencial integral

UNIDAD I: De que trata el cálculo diferencial integral.

1.        Aspectos históricos del cálculo.
2.       Problematizar a partir de los cuatro problemas básicos del cálculo.

UNIDAD II: Funciones

1.    Planteo y estudio de comportamiento de funciones.
2.       Definiciones básicas de funciones.
3.    Clasificación de funciones.
4.    Formas derepresentación de una función.
5.    Determinación de un dominio y rango.
6.       Funciones seccionadas o escalonadas.
7.    Funciones trigonométricas, exponenciales,logarítmicas y sus propiedades.
8.       Operación con funciones: suma, resta,multiplicación, división y composición.

UNIDAD III: Limites y continuidad.

1.    Noción intuitiva de límite.
2.    Calculo de límites.
3.    Limites en los que interviene el infinito.
4.       Asintotas.
5.    Continuidad.

UNIDAD IV: La derivada y sus aplicaciones

1.    Definición de la derivada.
2.       Derivación por formula.
3.       Derivadas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logaritmicas.
4.       Regla de la cadena.
5.       Aplicaciones de la derivada: recta normal yrecta tangente; puntos críticos, máximos y mínimos;  puntos de inflexión y problemas deoptimización.

UNIDAD V: La integral y sus aplicaciones.

1.       Anti derivadas.
2.    Integral indefinida.
3.    Reglas básicas para integración y por cambio devariable.
4.    Teorema fundamental del cálculo.
5.    Área bajo la curva.

CREADORES...

Personas detrás del proyecto.

Este blog creado por estudiantes del grupo dos de quinto semestre, hecho con la intención de ayudar a generaciones futuras. Esperamos que les sirva.
  
Por:

Andrade Flores Ana Ismenya.

Bertadillo Rangel Cristal.

Camacho Olvera José Esteban.

Campos Vera Carmen Elena.

Dávila Sánchez Daniel.

Escobar Rodríguez Sarai.

Frayle Alvarado Karla Marvely.

García Martínez Jahaziel Hazael.

Granados González Nancy Yocelyn.

Gudiño Ruíz Gustavo.

Guerrero Ledezma María Fernanda.

Guerrero Medellin Edgar.

Gutierrez Pérez Oliver.

Guzman Uribe María Guadalupe.

López Mendoza Diana Valeria.

Mendoza Marquez María Guadalupe.

Miranda Quezada Adriana.

Olvera Montejano Salma.

Pacheco Alvarez Ariadna.

Pacheco Diaz Zayra Yanet.

Pacheco Hervert José Rodrigo.

Pacheco Ramírez Mariana.

Peña Hernández Emmanuel Gabriel.

Pérez Martínez Dario.

Rodriguez Morales Hector Emiliano.

Romo Cárdenas Citlali Monserrat.

Tovar Mena María Fernanda.

Vargas Jaime Luz Felipe.

Regla de la cadena

Derivadas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logaritmicas.

Derivación de la función trigonométrica

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función.

Ejemplo:

Derivación de la función exponencial:
La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,

Es decir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior: * La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
* La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x. * La función es solución de la ecuación diferencial.
Función Derivada






* Si la base de la función exponencial es cualquier número real a mayor que 0, entonces su derivada se puede generalizar así:

* * donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de a = e resulta que ln(e) = 1 y por lo tanto .
Ejemplo:









Derivadas logarítmicas
Muchas propiedades del logaritmo real también son válidas para la derivada logarítmica, aún cuando la función no toma valores de reales positivos. Por ejemplo, dado que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, se tiene que

 Por lo que para funciones reales positivas, la derivada logarítmica de un producto es la suma de la derivada logarítmica de los factores. También es posible aplicar la regla de Leibniz para la derivada del producto y así obtener Por lo tanto, es cierto que para toda función que la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando las mismas están definidas).

 
En forma similar (de hecho es una consecuencia), la derivada logarítmica de de la función recíproca de una función es el negado de la derivada logarítmica de la función:

en la misma forma que el logaritmo de la recíproca de un número real positivo es la negación del logaritmo del número.

En forma general, la derivada logarítmica de un cociente es la diferencia de las derivadas

Derivación por formula.

Anti derivadas.

Operación con funciones: suma, resta, multiplicación, división y composición.

Suma de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

Resta de funciones
Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función



Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por



Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por



(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)


Producto de un número por una función
Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

Ejercicio:
 Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4.

Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Resolución:

· La función f + g se define como
(f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.

· (f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7
(f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18
(f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2

Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.

Por ejemplo, para la imagen del 2,

‚ Dadas las funciones f (x) = x2 - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).

Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.

Resolución:

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.




Resolución:

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.


„ Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g.



Resolución: 

La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.

Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.




Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.


Resolución:

Definiciones básicas de funciones.

 

El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.

La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.

Las funciones trigonométricas surgen al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cuales quiera de sus lados dependen únicamente del valor de los ángulos del triángulo.

La denominación de los lados de un triángulo rectángulo son las siguientes:

* La hipotenusa (h) corresponde al lado que se encuentra opuesto al ángulo recto. .

* El cateto opuesto (a) corresponde al lado opuesto al ángulo que se quiere establecer.

* El cateto adyacente (b) corresponde al lado que es adyacente al ángulo que se busca establecer.

Si se consideran los triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, tenemos que

Todos los triángulos representados con estos ángulos serán semejantes, por lo cual, las medidas de sus lados serán proporcionales:

Esto quiere decir que si se procede a calcular el primer triángulo AC/BC se obtendrá como resultado el mismo que hubiera sido si calculáramos en el triángulo segundo el cociente A’C’/B’C’.

En un triángulo rectángulo se puede definir como seno de un ángulo agudo al valor que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.

Definimos el coseno de un ángulo agudo como valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.

Definimos como tangente de un ángulo agudo al valor del cociente que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.

Sen (B) = AC/BC

cos (B) = BA/BC

Tan (B) = AC/BA

Las razones trigonométricas son generalizadas para ángulos cualesquiera, usando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro se ubica en el origen.

Los ángulos se miden en sentido contrario a las agujas del reloj.

Propiedades importantes:

Esta igualdad se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente.

c) los valores del seno y del coseno se comprenden entre -1 y 1.

Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para un ángulo cualquiera, se da lugar a la concepción de las funciones trigonométricas.

A continuación veremos la definición de las funciones trigonométricas:

• El seno corresponde a la relación que se encuentra entre la longitud del cateto opuesto e hipotenusa:

No es influyente el tamaño del triángulo para con el valor de la relación en cuestión siempre y cuando posean igual ángulo.

• La relación entre la longitud de la hipotenusa con la del cateto adyacente corresponde al coseno de un ángulo.

• La tangente de un ángulo corresponde a la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

• La relación entre la longitud del cateto adyacente y la del cateto opuesto es lo que llamamos cotangente.

• La secante de un ángulo corresponde a la relación entre la longitud del cateto adyacente y la hipotenusa.

• La relación entre la longitud de la hipotenusa y cateto opuesto es la cosecante.

ASINTOTAS

Las Asíntotas en una curva son las rectas que cumplen la condición de que a medida que un punto de la curva se aleja del origen, la distancia entre la recta y la curva se aproxima a cero sin llegar a ser cero. Esto quiere decir que la curva nunca se toca con la recta asíntota.

Asíntotas Horizontales. Se emplean los limites al infinito, es decir la variable independiente tiende al infinito (∞) , se traza sobre el eje “Y”.

Asíntotas Verticales. Se emplean los limites cuando la variable independiente toca el valor al que tiende. Se traza sobre el eje de las “X” . es decir se busca que el denominador se haga cero.

Para determinar si crece o decrece la función se emplean los limites de izquierda a derecha. Si se van al ∞⁺ la función crece, si se van al ∞^- la función decrece..

• 

 PARA GRAFICAR

Verticales. Se trazan sobre el eje X

Horizontales. se trazan sobre el eje Y

1. Se usa la primera asíntota para hacer la grafica, sustituyendo la x por un numero que se acerque por la izquierda a la asíntota (-1.01)

1. Se usa la primera asíntota para hacer la grafica, sustituyendo la X por un numero que se acerque por la derecha a la asíntota (.99)

Aplicaciones de la derivada: recta normal y recta tangente; puntos críticos, máximos y mínimos; puntos de inflexión y problemas de optimización.

La recta tangente a una curva es la recta que toca a la curva en otro punto (punto de tangencia).

La pendiente m es la derivada de la función evaluada en el punto de tangencia. Para determinar la ecuación de la recta tangente se emplea la ecuación de la recta en su forma punto pendiente.

La ecuación de la recta normal se obtiene de la misma forma, tomando en consideración que la pendiente es la inversa y de signo contrario por ser perpendicular a la tangente.

Formulas:

m= f´(x₁₎

y-y₁=m(x-x₁)

y-y₁=f´(x)(x-x₁) recta tangente

y-y₁=-1/f´(x)(x-x₁) recta normal

Ejemplo:

1. Punto de tangencia

F(2)=(2)³-2(2)-4

F(2)=8-4-4

F(2)=0

(2,0)

2. Valor de la pendiente

F(x)=x³-2x-4

F´(x)=3x²-2

F´(2)=3(2)²-2

F´(2)=10

3. Recta tangente

y-y₁=f´(x)(x-x₁)

y-0=10(x-2)

y-0=10x-20

10x-y-20=0

4. Recta normal

y-y₁=-1/f´(x)(x-x₁)

y-0=-1/10(x-2)

10y-0=-x+2

X+10y-2=0

Puntos críticos, máximos y mínimos. Puntos de inflexión

Máximos y mínimos

Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Cálculo de los máximos y mínimos relativos

f(x) = x3 − 3x + 2

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Puntos de inflexión

En los puntos de inflexión hay cambio de concavidad a convexidad o viceversa.

 
Cálculo de los puntos de inflexión

f(x) = x3 − 3x + 2

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.

3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión: (0, 2)

Determinación de dominio y rango

AREA BAJO LA CURVA