Definiciones básicas de funciones.

 

El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.

La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.

Las funciones trigonométricas surgen al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cuales quiera de sus lados dependen únicamente del valor de los ángulos del triángulo.

La denominación de los lados de un triángulo rectángulo son las siguientes:

* La hipotenusa (h) corresponde al lado que se encuentra opuesto al ángulo recto. .

* El cateto opuesto (a) corresponde al lado opuesto al ángulo que se quiere establecer.

* El cateto adyacente (b) corresponde al lado que es adyacente al ángulo que se busca establecer.

Si se consideran los triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, tenemos que

Todos los triángulos representados con estos ángulos serán semejantes, por lo cual, las medidas de sus lados serán proporcionales:

Esto quiere decir que si se procede a calcular el primer triángulo AC/BC se obtendrá como resultado el mismo que hubiera sido si calculáramos en el triángulo segundo el cociente A’C’/B’C’.

En un triángulo rectángulo se puede definir como seno de un ángulo agudo al valor que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.

Definimos el coseno de un ángulo agudo como valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.

Definimos como tangente de un ángulo agudo al valor del cociente que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.

Sen (B) = AC/BC

cos (B) = BA/BC

Tan (B) = AC/BA

Las razones trigonométricas son generalizadas para ángulos cualesquiera, usando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro se ubica en el origen.

Los ángulos se miden en sentido contrario a las agujas del reloj.

Propiedades importantes:

Esta igualdad se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente.

c) los valores del seno y del coseno se comprenden entre -1 y 1.

Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para un ángulo cualquiera, se da lugar a la concepción de las funciones trigonométricas.

A continuación veremos la definición de las funciones trigonométricas:

• El seno corresponde a la relación que se encuentra entre la longitud del cateto opuesto e hipotenusa:

No es influyente el tamaño del triángulo para con el valor de la relación en cuestión siempre y cuando posean igual ángulo.

• La relación entre la longitud de la hipotenusa con la del cateto adyacente corresponde al coseno de un ángulo.

• La tangente de un ángulo corresponde a la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

• La relación entre la longitud del cateto adyacente y la del cateto opuesto es lo que llamamos cotangente.

• La secante de un ángulo corresponde a la relación entre la longitud del cateto adyacente y la hipotenusa.

• La relación entre la longitud de la hipotenusa y cateto opuesto es la cosecante.