Aplicaciones de la derivada: recta normal y recta tangente; puntos críticos, máximos y mínimos; puntos de inflexión y problemas de optimización.

La recta tangente a una curva es la recta que toca a la curva en otro punto (punto de tangencia).

La pendiente m es la derivada de la función evaluada en el punto de tangencia. Para determinar la ecuación de la recta tangente se emplea la ecuación de la recta en su forma punto pendiente.

La ecuación de la recta normal se obtiene de la misma forma, tomando en consideración que la pendiente es la inversa y de signo contrario por ser perpendicular a la tangente.

Formulas:

m= f´(x₁₎

y-y₁=m(x-x₁)

y-y₁=f´(x)(x-x₁) recta tangente

y-y₁=-1/f´(x)(x-x₁) recta normal

Ejemplo:

1. Punto de tangencia

F(2)=(2)³-2(2)-4

F(2)=8-4-4

F(2)=0

(2,0)

2. Valor de la pendiente

F(x)=x³-2x-4

F´(x)=3x²-2

F´(2)=3(2)²-2

F´(2)=10

3. Recta tangente

y-y₁=f´(x)(x-x₁)

y-0=10(x-2)

y-0=10x-20

10x-y-20=0

4. Recta normal

y-y₁=-1/f´(x)(x-x₁)

y-0=-1/10(x-2)

10y-0=-x+2

X+10y-2=0

Puntos críticos, máximos y mínimos. Puntos de inflexión

Máximos y mínimos

Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Cálculo de los máximos y mínimos relativos

f(x) = x3 − 3x + 2

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Puntos de inflexión

En los puntos de inflexión hay cambio de concavidad a convexidad o viceversa.

 
Cálculo de los puntos de inflexión

f(x) = x3 − 3x + 2

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.

3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión: (0, 2)