martes, 18 de noviembre de 2014
Definición de las derivadas
La derivada de una función es una medida de la
rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el
valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto
local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la
función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la
variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del
valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
La derivada de una función f en un punto x se denota
como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la
llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la
derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las
herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo
infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la
derivada se denomina cálculo diferencial.
NOCIÓN INTUITIVA DEL LÍMITE.
Los límites son la herramienta principal sobre la que
construimos el cálculo. Muchas veces, una función puede no estar definida en un
punto, pero podemos pensar a qué valor se aproxima la función mientras se
acerca más y más a ese punto (esto es el límite).
v Se
aproxima, está cerca, muy pequeña, casi igual.
v Y=
f(x) Adquiere valores según sean asignados a x.
v
Cuando a la variable “x” se le asignan valores se dice: “x tiende a a”, y se denota así: X -->a
Cuando a la variable “x” se le asignan valores se dice: “x tiende a a”, y se denota así: X -->a
Nota: “a”
es un valor, (5, 4, 3, etc.) el que sea
La
notación para el límite de una función es:
Lm f(x) = L
X -->a
Cuando se trabajan valores superiores a “a” se dice que x --> a por la derecha. Y se representa con un símbolo positivo “+” en la parte superior derecha; x --> a
Cuando se trabajan valores inferiores a “a” se dice que x-->a por la izquierda. Y se representa con un símbolo negativo “-“en la parte superior derecha; x--> a
FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN
Una
función se puede expresar mediante un texto, mediante una expresión algebraica,
por una tabla de valores o una gráfica. Teniendo una de las expresiones, se
pueden obtener las demás.
1.
Mediante un texto o enunciado:
Una
descripción verbal nos puede indicar, cómo se relacionan entre sí las dos
variables. Por ejemplo, el precio de
una bolsa de pipas es 1,50 €.
Otro
ejemplo de definición mediante un texto sería:
“Tenemos una función que a cada número natural le hace corresponder su
cubo menos dos”.
2.
Mediante el uso de tablas:
También
la relación entre dos magnitudes se puede expresar mediante una tabla de
valores como la siguiente.
x
|
-1
|
0
|
½
|
1
|
2
|
y
|
1
|
0
|
¼
|
1
|
4
|
Para cada
par de valores (x, y), el valor y depende del valor que tome x;
por eso, ambos se denominan variables, porque toman valores distintos. Se
distingue:
§ Variable
independiente: se representa por la letra x. Es un valor fijado
previamente.
§ Variable
dependiente: se representa por la letra y. Depende del valor de la
variable independiente (x).
3.
Expresión algebraica o ecuación de una función:
Una
expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos mediante las
operaciones aritméticas.
Podemos
escribir la relación entre dos magnitudes con una expresión algebraica,
combinando letras, números y signos aritméticos.
y = f(x) es la
expresión general de una función o ecuación de una función.
Algunos
ejemplos de expresiones algebraicas serían:
§ y = x5
+ x. También podría expresarse así f(x) = x5 + x
§
§
4.
Mediante
Representación Gráfica
La
gráfica de una función es la representación del conjunto de puntos que define a
esa función. Mediante la representación gráfica de una función podemos obtener
información de la relación entre las dos variables. El valor independiente se grafica en el eje x y el
valor dependiente es trazado en el eje y.
EJEMPLO:
La gráfica de ésta función, dibujada en azul,
parece un semicírculo. Sabemos que y es una función de x porque
por cada coordenada x hay exactamente una coordenada y.
Limites que tienden al infinito
EJEMPLOS
1.- En todos los
problemas de límites primero se tiene que evaluar linealmente, sustituyendo las
“x” por “∞”.
En
esta ecuación si se multiplica (3)(∞) el resultado será ∞. Y si a este se le
quitan 5 seguirá siendo ∞, el cual al sumarle otro ∞ dará como resultado ∞ y ya
no se necesita hacer más operaciones.
Lim x^2+3x-5 = (∞)+3(∞)-5= ∞+∞= ∞
xà ∞
2.- Se evalúa
linealmente sustituyendo las “x” por “∞”. En esta ecuación queda una indeterminación, ya que no se puede
saber cuanto es ∞-∞. Por lo cual la ecuación ahora se desarrollara
verticalmente.
Lim x^2-x8= ∞-∞= 
Xà∞
Como
salió una indeterminación, tienes que ver cual es tu “x” mas grande ya que por
ella tendrás que multiplicar la ecuación. Se sigue desarrollando verticalmente.
Lim (x^2-x) (
x^2 )
xà∞ x^2
La
x^2 inferior que esta multiplicando la
ecuación, pasara a dividir toda la ecuación, quedando una x^2 que la multiplicara.
Lim ( x^2 - x ) (x^2)
xà∞
x^2
x^2
Después
una x con exponente dividida por otra x con el mismo exponente dará 1. Y en la
x/x^2 se ara una resta de exponentes.
Y
se evaluara horizontalmente, ya que se sustituirán las “x” por “∞”.
Quedando
en una parte 1/∞, lo cual viendo el rectángulo de arriba nos dice que será 0.
Por lo que entonces quedara 1-∞ lo cual dará como resultado final ∞.
Lim (
1 - 1 )(x^2)= (1 – 1 )(∞)= 1-∞ = ∞
xà x ∞
3.-
Primero se evalúa linealmente
Lim
3x - 2x^3 = 3(∞) – 2(∞)^3 = ∞-∞ =
xà∞ 4 5
4 5
Ya que salió indeterminación,
se sigue desarrollando la ecuación verticalmente, multiplicando por la “x” mas
grande.
Lim
3x - 2x^3 ( x^3 )
xà∞ 4 5
x^3
La x^3 inferior pasa
dividiendo a toda la ecuación.
Lim
3x 2x^3 ( x^3 )
xà∞ 4 - 5
x^3 x^3
Se
hace una multiplicación de fracciones, extremos por extremos y medios por
medios.
Lim 3x 2x^3 ( x^3 )
xà∞ 4 - 5
x^3 x^3
1
1
Después
de hacer la multiplicación, se hace las restas de los exponentes de las x.
Lim 3x
- 2x^3 ( x^3)
xà ∞
4x^3 5x^3
Lim
3 - 2 ( x^3 )
xà∞ 4x^2 5
Por ultimo se evalúa
horizontalmente.
xà∞ 4x^2 5 4(∞)
5 5
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